SISTEMA DO INFINITO-DIMENSIONAL GRACELI EM:

Elasticidade (mecânica dos sólidos)

Uma vareta elástica vibrando, um exemplo de sistema onde a energia potencial elástica se transforma em energia cinética e vice-versa.

Em física e engenharia, o termo elasticidade designa a propriedade mecânica de certos materiais de sofrer deformações reversíveis, deformações elásticas quando se encontram sujeitos à ação de forças exteriores e de recuperar a forma original se estas forças exteriores se eliminam.

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Fundamentação teórica

A elasticidade é estudada pela 'teoria da elasticidade, que por sua vez é parte da mecânica de sólidos deformáveis. A teoria da elasticidade (TE) como a mecânica de sólidos (MS) deformáveis descreve como um sólido (ou fluido totalmente confinado) se move e deforma como resposta a forças exteriores. A diferença entre a TE e a MS é que a primeira só trata sólidos em que as deformações são termodinamicamente reversíveis.

A propriedade elástica dos materiais está relacionada, como se tem mencionado, com a capacidade de um sólido de sofrer transformações termodinâmicas reversíveis. Quando sobre um sólido deformável atuam forças exteriores e este se deforma se produz um trabalho destas forças que se armazena no corpo em forma de energia potencial elástica e portanto se produzirá um aumento da energia interna. O sólido se comportará elasticamente se este incremento de energia pode realizar-se de forma reversível, neste caso dizemos que o sólido é elástico.

Teoria da Elasticidade Linear

Um caso particular de sólido elástico se apresenta quando as tensões e as deformações estão relacionadas linearmente, mediante a seguinte equação constitutiva:

${\displaystyle \sigma _{ij}=\sum _{k,l}C_{ijkl}\varepsilon _{kl}\,}$

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Quando isso ocorre dizemos que temos um sólido elástico linear. A teoria da elasticidade linear é o estudo de sólidos elásticos lineares submetidos a pequenas deformações de modo que os deslocamentos e deformações sejam "lineares", ou seja, que os componentes do campo de deslocamentos u sejam muito aproximadamente uma combinação linear dos componentes do tensor deformação do sólido. Em geral um sólido elástico linear submetido a grandes deslocamentos não cumprirá esta condição. Portanto a teoria da elasticidade linear só é aplicável a:

• Sólidos elásticos lineares, nos que tensões e deformações estejam relacionadas linearmente (linearidade material).
• Pequenas deformações, é o caso em que deformações e deslocamentos estão relacionados linearmente. Neste caso pode usar-se o tensor deformação de engenhariapara representar o estado de deformação de um sólido (linearidade geométrica). Que é uma simplificação do tensor deformação linear de Green-Lagrange que é usado também para grandes deformações.

Devido aos pequenos deslocamentos e deformações a que são submetidos os corpos, se usam as seguintes simplificações e aproximações para sistemas estáveis:

• As tensões se relacionam com as superfícies não deformadas
• As condições de equilíbrio se apresentam para o sistema não deformado

Para determinar a estabilidade de um sistema tem-se de apresentar as condições para o sistema deformado.

Tensão

Componentes do tensor tensão em um ponto P de um sólido deformável.

A tensão em um ponto se define como o limite da força aplicada sobre uma pequena região sobre um plano π que contenha o ponto dividido da área da região, ou seja, a tensão é a força aplicada por unidade de superfície e depende do ponto escolhido, do estado tensional do sólido e da orientação do plano escolhido para calcular o limite. Pode provar-se que a normal ao plano escolhido n_π e a tensão t_π em um ponto estão relacionadas por:

${\displaystyle {t_{\pi }}={\mathbf {T} (n_{\pi })}\,}$

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onde T é o chamado tensor tensão, também chamado tensor de tensões, que fixada uma base vetorial ortogonal vem a ser representado por uma matriz simétrica 3x3:

${\displaystyle \mathbf {T} =\left({\begin{matrix}\sigma _{xx}&\sigma _{xy}&\sigma _{xz}\\\sigma _{yx}&\sigma _{yy}&\sigma _{yz}\\\sigma _{zx}&\sigma _{zy}&\sigma _{zz}\end{matrix}}\right)=\left({\begin{matrix}\sigma _{x}&\tau _{xy}&\tau _{xz}\\\tau _{yx}&\sigma _{y}&\tau _{yz}\\\tau _{zx}&\tau _{zy}&\sigma _{z}\end{matrix}}\right)}$

onde a primeira matriz é a forma comum de se escrever o tensor tensão em física e a segunda forma usa as convenções comuns em engenharia. Dada uma região em forma de ortoedro com faces paralelas aos eixos coordenados situados no interior de um sólido elástico tensionado, as componentes σ_xx, σ_yy e σ_zz dão conta de alterações de longitude nas três direções, mas que não deformem os ângulos do ortoedro, enquanto que os componentes σ_xy, σ_yz e σ_zx estão relacionados com a distorção angular que converteria o ortoedro em um paralelepípedo.

Deformação

Em teoria linear da elasticidade dada a pequena dimensão das deformações é uma condição necessária para poder assegurar que existe uma relação linear entre os deslocamentos e a deformação. Sob essas condições a deformação pode ser representada adequadamente mediante o tensor deformação infinitesimal que vem a ser dado por:

${\displaystyle \mathbf {\epsilon _{ik}} ={\begin{pmatrix}\varepsilon _{xx}&\varepsilon _{xy}&\varepsilon _{xz}\\\varepsilon _{yx}&\varepsilon _{yy}&\varepsilon _{yz}\\\varepsilon _{zx}&\varepsilon _{zy}&\varepsilon _{zz}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\varepsilon _{xx}&{\frac {1}{2}}\gamma _{xy}&{\frac {1}{2}}\gamma _{xz}\\{\frac {1}{2}}\gamma _{yx}&\varepsilon _{yy}&{\frac {1}{2}}\gamma _{yz}\\{\frac {1}{2}}\gamma _{zx}&{\frac {1}{2}}\gamma _{zy}&\varepsilon _{zz}\end{pmatrix}}}$

Os componentes da diagonal principal contém as deformações normais nas três direções consideradas, de alongamento ou encurtamento, enquanto que as demais componentes do tensor significam as distorções ou deformações angulares. Os componentes estão linearmente relacionados com os deslocamentos mediante esta relação:

${\displaystyle \varepsilon _{ij}={1 \over 2}\left({\partial u_{i} \over \partial x_{j}}+{\partial u_{j} \over \partial x_{i}}\right)}$

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Equações constitutivas de Lamé-Hooke

As equações de Lamé-Hooke são as relações constitutivas de um material elástico linear e têm a forma:

${\displaystyle \sigma _{ij}=\sum _{k,l}C_{ijkl}\varepsilon _{kl}\,}$

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Em notação indicial (notação de Einstein) o somatório apresentado na equação anterior pode ser ignorado, pois a própria notação já pré-supõe as somas. No caso de um problema unidimensional, σ = σ₁₁, ε = ε₁₁, C₁₁ = E e a equação anterior se reduz a:

${\displaystyle \sigma =E\epsilon \,}$

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