SISTEMA DO INFINITO DIMENSIONAL GRACELI  EM:

Algoritmo de Gauss-Newton

O algoritmo de Gauss-Newton é um método usado para resolver problemas de mínimos quadrados não lineares. Ele pode ser visto como uma modificação do Método de Newton para achar o mínimo de uma função. Diferentemente do Método de Newton, o Algoritmo de Gauss-Newton apenas pode ser usado para minimizar uma soma dos valores quadrados da função, mas tem a vantagem de que as derivadas segundas, que podem ser difíceis de calcular, não são necessárias.

Problemas de mínimos quadrados não lineares surgem, por exemplo, em regressão não linear, onde os parâmetros de um modelo são procurados de forma que o modelo esteja em concordância com as observações disponíveis.

O método foi nomeado a partir dos matemáticos Carl Friedrich Gauss e Isaac Newton.

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Descrição

Dada "m" funções r = (r₁, …, r_m) de n variáveis 'β = (β₁, …, β_n), com m  ≥ n', o Algoritmo de Gauss-Newton iterativamente encontra o mínimo das somas dos quadrados^[1]

${\displaystyle S({\boldsymbol {\beta }})=\sum _{i=1}^{m}r_{i}^{2}({\boldsymbol {\beta }}).}$

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Começando com uma estimativa inicial ${\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}^{(0)}}$ para o mínimo, o método prossegue com as iterações

${\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}^{(s+1)}={\boldsymbol {\beta }}^{(s)}-\left(\mathbf {J_{r}} ^{\top }\mathbf {J_{r}} \right)^{-1}\mathbf {J_{r}} ^{\top }\mathbf {r} ({\boldsymbol {\beta }}^{(s)})}$

onde

${\displaystyle \mathbf {J_{r}} ={\frac {\partial r_{i}}{\partial \beta _{j}}}({\boldsymbol {\beta }}^{(s)})}$

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é a Matriz Jacobiana de "r" e o símbolo ${\displaystyle ^{\top }}$ denota a matriz transposta.

Na montagem de dados, onde o objetivo é encontrar os parâmetros β tais que uma dada função modelo y = f(x, β) ajuste melhor alguns pontos de dados (x_i, y_i), as funções r_i são os resíduos

${\displaystyle r_{i}({\boldsymbol {\beta }})=y_{i}-f(x_{i},{\boldsymbol {\beta }}).}$

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Então, o método de Gauss-Newton pode ser expresso em termos da Jacobiana da função "f" como

${\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}^{(s+1)}={\boldsymbol {\beta }}^{(s)}-\left(\mathbf {J_{f}} ^{\top }\mathbf {J_{f}} \right)^{-1}\mathbf {J_{f}} ^{\top }\mathbf {r} ({\boldsymbol {\beta }}^{(s)}).}$

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Algoritmo de De Casteljau

O Algoritmo de De Casteljau na matemática, no campo da análise numérica, é um método recursivo para calcular polinômios na forma de Bernstein ou da Curva de Bézier. Chamado assim por causa do seu criador Paul de Casteljau.^[1] Esse algoritmo pode ser usado também para dividir uma única curva de Bézier em duas, recebendo um valor arbitrário como parâmetro.

Embora seja um pouco mais lento, para a maior parte das arquiteturas, quando comparado com abordagens diretas, esse algoritmo se mostra numericamente estável. É amplamente usado, com algumas modificações, como o mais robusto e numericamente estável método para calculo de polinomiais.

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Definição

Uma curva de Bézier B (de grau n) pode ser escrita na forma de Bernstein como se segue

${\displaystyle B(t)=\sum _{i=0}^{n}\beta _{i}b_{i,n}(t)}$,

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onde b é um Polinômio de Bernstein

${\displaystyle b_{i,n}(t)={n \choose i}(1-t)^{n-i}t^{i}}$.

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A curva no ponto t₀ pode ser calculada com a relação de recorrência

${\displaystyle \beta _{i}^{(0)}:=\beta _{i}{\mbox{ , }}i=0,\ldots ,n}$

${\displaystyle \beta _{i}^{(j)}:=\beta _{i}^{(j-1)}(1-t_{0})+\beta _{i+1}^{(j-1)}t_{0}{\mbox{ , }}i=0,\ldots ,n-j{\mbox{ , }}j=1,\ldots ,n}$

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Então, a estimativa de ${\displaystyle B}$ no ponto ${\displaystyle t_{0}}$ pode ser calculada em ${\displaystyle n}$ passos do algoritmo. O resultado ${\displaystyle B(t_{0})}$ é dado por:

${\displaystyle B(t_{0})=\beta _{0}^{(n)}.}$

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Além disso, a curva de Bézier ${\displaystyle B}$ pode ser dividida no ponto ${\displaystyle t_{0}}$ em duas curvas com respectivos pontos de controle:

${\displaystyle \beta _{0}^{(0)},\beta _{0}^{(1)},\ldots ,\beta _{0}^{(n)}}$

${\displaystyle \beta _{0}^{(n)},\beta _{1}^{(n-1)},\ldots ,\beta _{n}^{(0)}}$

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